sábado, 4 de mayo de 2013

Errar es humano


Muchas experiencias que se comentan permiten una discusión que suele ser pasada por alto: la del proceso de medición en física. En efecto, muchas veces los alumnos construyen la idea errónea de que todas las mediciones son perfectas, que todos los cálculos de basados en ellas no tienen error, y que las cifras significativas en un resultado son tantas como arroje la calculadora. Un análisis más pormenorizado de este tema se encuentra en las referencias {FernandezGalloni1951} y {TheUncertaintyinPhysicalMeasurements}. Me voy a limitar a dar un muy corto resumen de los conceptos fundamentales para lidiar con las situaciones usuales. Hay varios programas que permiten hacer cálculo de incertezas en medidas indirectas en física y que realizan automáticamente lo explicado en este artículo. Uno gratuito y muy útil es "Uncertainty Calculator'' {UncertaintyCalculator} (http://www.colby.edu/chemistry/PChem/scripts/error.html).

Medir


 Para poder medir una determinada magnitud (muy generalmente una longitud) se elige una unidad y luego se determina el número de veces que está contenida en la primera. Usualmente esto determina la precisión de la medida. En una regla escolar común, es el milímetro la precisión máxima del instrumento puesto que es la menor distancia medible con ella [y estamos omitiendo el tema de la dependencia con la temperatura de la longitud misma de la regla]. Es importante elegir el instrumento de medida más adecuado para la magnitud a medir; por ejemplo una cinta métrica es muchísimo más conveniente que un micrómetro para medir distancias del orden de un metro.
 En la República Argentina las unidades están establecidas en la ley 19.511 (Ley de Metrología). Dicho de manera muy resumida, "metrología" significa "medir bien". Las unidades de dicha ley constituyen el Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA) {Metrologia1972}. Este sistema emplea las unidades, múltiplos y submúltiplos, prefijos y símbolos del Sistema Internacional de Unidades (SI).


Tabla 1: Unidades de base del Sistema Internacional (SI). Los símbolos de las magnitudes se imprimen en bastardilla (caracteres inclinados); los símbolos de las unidades, en redonda (caracteres verticales).

 Para los ángulos el SIMELA dictamina el uso de los radianes (rad), pero delinquiremos un poco permitiendo el sistema sexagesimal de grados, minutos y segundos (aceptado en 1996 en el SI por el Comité International des Poids et Mesures).

Dígitos significativos y redondeo 


Es muy raro en ciencias trabajar con valores exactos, como por ejemplo \(\sqrt{4\mbox{ m}^{2}}=2\mbox{ m}\); en general uno trabaja con valores aproximados. Un ejemplo es el de la velocidad de la luz (\(c\)): su valor exacto por convención es 
 \begin{equation} c=299792458\,\mbox{m/s}\label{eq:c} \end{equation} 
su valor aproximado es 
 \begin{equation} c\simeq300000000\,\mbox{m/s}\label{eq:c_aprox} \end{equation} 
 \begin{equation} c\simeq3\times10^{8}\,\mbox{m/s}\label{eq:c_aprox_corto} \end{equation}

El número de dígitos significativos de un valor numérico se obtiene contando los dígitos de izquierda a derecha, comenzando por el primero distinto de cero. Los ceros a la izquierda de los dígitos significativos sólo son posicionales. Por ejemplo, el número 37,05 tiene 4 dígitos significativos: 3-7-0-5; el número 0,00028 tiene dos dígitos significativos: 2-8. Aún en números enteros con ceros al final pueden haber ambigüedades; las mismas se evitan usando la notación científica. El primer valor de la velocidad de la luz dado más arriba tiene 9 dígitos significativos mientras que segundo es ambiguo por el redondeo; dicha ambigüedad está resuelta en el tercero donde vemos que en realidad la cantidad de dígitos significativos es 1 (el 3). 

Reglas para redondear valores numéricos


 Cuando se debe redondear un número debemos eliminar alguno de los últimos dígitos significativos de acuerdo a las siguientes reglas:


  1. Si el dígito significativo a ser eliminado es 0, 1, 2, 3 ó 4, entonces el anterior a la izquierda se deja sin cambiar. Por ejemplo: 34,12\(\simeq\)34,1. 
  2. Si el dígito significativo a ser eliminado es 6, 7, 8, 9, ó 5 seguido por al menos un dígito distinto de cero a la derecha, entonces el anterior a la izquierda se incrementa el dígito anterior en 1.
    Ejemplos:
    36,17\(\simeq\)36,2.
    101,355\(\simeq\)101,4. 
  3. Si el dígito significativo a ser eliminado es 5 seguido de ceros a la derecha, entonces el anterior a la izquierda se deja como está si es par, y se incrementa en uno si es impar.
    Ejemplos:
    8,45\(\simeq\)8,4.
    8.35\(\simeq\)12,4. 


Redondeos en cálculos


  1. Sumas, restas, multiplicaciones y cocientes: se redondea el resultado para que tenga tantos dígitos significativos como la que menos tenga.
    Ejemplos:
    6,221+1,5+8,42=16,141\(\simeq\)16,1.
    8,54\(\times\)18,6=158,844\(\simeq\)158,8.
    En cocientes a veces es preferible poner un dígito significativo más que lo indicado más arriba. 
  2. Raíces cuadradas: se mantiene el número de dígitos significativos del radicando. Ejemplo: \(\sqrt{2,0}\)=1,414213562...\(\simeq\)1,4. 

La incerteza (antes conocida como "error")


La cantidad de dígitos significativos en una medida viene dada por la incerteza de la misma. Así, si estamos midiendo un valor \(X\), diremos que \(\Delta X\) es la "incerteza de \(X\)". El valor reportado es \[ X\pm\Delta X \] 
 En el caso de instrumentos con una dado intervalo de resolución (lo mínimo medible con el instrumento; los milímetros en una regla escolar, por ejemplo), una elección razonable para \(\Delta X\) es la mitad de ese mínimo medible siempre y cuando no se hayan detectado otras fuentes de error (lectura, sistemáticos, etc.). En el caso de la regla \(\Delta X=0,5\,\mbox{mm}\). 
 Al tomar muchas [más de 10 para que esto tenga validez estadística] \(N\) medidas \(x_{i}\) de la misma magnitud \(X_{0}\), se puede hacer estadística y reportar el promedio de la misma y la desviación estándar de la misma como error (aplicando las mismas reglas de cálculo enunciadas más arriba) según 
\begin{equation} X_{0}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}\label{eq:X_0} \end{equation} \

\begin{equation} \Delta X=\sqrt{\frac{1}{N\left(N-1\right)}\sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}-X_{0}\right)^{2}}\label{eq:deltaX} \end{equation}
 Aquí se aplican en general dos reglas:


  1. La incerteza \(\Delta X\) no debe expresarse con más que dos dígitos significativos; incluso a veces con uno solo es suficiente. 
  2. Cuando se reporta una medida como \(X_{0}\pm\Delta X\) el último dígito significativo de \(X_{0}\) debe ser del mismo orden de magnitud del último dígito significativo de \(\Delta X\). 

Errores en medidas indirectas

Supongamos que tenemos varias variables independientes entre sí (\(X\), \(Y\), \(Z\),...) medidas directamente cada una, con su incertezas (\(X_{0}\pm\Delta X\), \(Y_{0}\pm\Delta Y\), \(Z_{0}\pm\Delta Z\),...), y que se las combina con alguna ecuación para hallar una magnitud \(Q\). La forma general para encontrar la incerteza \(\Delta Q\) es {TheUncertaintyinPhysicalMeasurements}:
\begin{equation} \Delta Q\simeq\sqrt{\left(\frac{\partial Q}{\partial X}\right)_{X_{0}}^{2}\left(\Delta X\right)^{2}+\left(\frac{\partial Q}{\partial Y}\right)_{Y_{0}}^{2}\left(\Delta Y\right)^{2}+\left(\frac{\partial Q}{\partial Z}\right)_{Z_{0}}^{2}\left(\Delta Z\right)^{2}+\ldots}\label{eq:deltaQ} \end{equation}
donde \(\left(\frac{\partial Q}{\partial X}\right)_{X_{0}}\) indica que la derivada se evalúa en \(X_{0}\), \(\left(\frac{\partial Q}{\partial Y}\right)_{Y_{0}}\) indica que la derivada se evalúa en \(Y_{0}\), etc.

Ejemplo: Hallar la incerteza para el seno y el seno de un ángulo \(\alpha\) (\(Q=\mbox{sen}\left(\alpha\right)\)) en un triángulo si el cateto opuesto mide \(X_{0}\pm\Delta X=\left(3,0\pm0,1\right)\) m y la hipotenusa \(Y_{0}\pm\Delta Y=\left(5,02\pm0,03\right)\) m. 
Solución:
 \begin{eqnarray*} \Delta Q & = & \sqrt{\left(\frac{1}{Y_{0}}\right)^{2}\left(\Delta X\right)^{2}+\left(-\frac{X_{0}}{Y_{0}^{2}}\right)^{2}\left(\Delta Y\right)^{2}}\\ & = & \sqrt{\left(\frac{0,1}{5,02}\frac{\mbox{m}}{\mbox{m}}\right)^{2}+\left(-\frac{3,0\times0,03}{5,02^{2}}\frac{\mbox{m}\times\mbox{m}}{\mbox{m}^{2}}\right)^{2}}\\ & \simeq & \sqrt{\left(0,02\right)^{2}+\left(0,004\right)^{2}}\simeq\sqrt{0,0004+0,000016}\simeq\sqrt{0,0004}\\ & \simeq & 0,02 \end{eqnarray*} \[ Q=\mbox{sen}\left(\alpha\right)=\frac{X_{0}}{Y_{0}}=\frac{3,0}{5,02}\frac{\mbox{m}}{\mbox{m}}=0,5976095...\simeq0,60 \] La magnitud a reportar (adimensional en este caso) es entonces \[ \mbox{sen}\left(\alpha\right)=0,60\pm0,02 \]


 Las incertezas pueden estimular varias reflexiones en clase que pueden ir más allá de reportar un número. Por un lado puede estimular la discusión sobre el sentido de las magnitudes a medir. La longitud de un sólido ya carece de sentido en el orden de las distancias entre átomos (\(\sim10^{-10}\mbox{ m}\)) donde las interfaces se hacen discontínuas. En efecto, lo que nos parece totalmente liso y pulido a simple vista se convierte en una cordillera totalmente irregular a escala muy pequeña. También puede tomarse un mapa de la República Argentina y proponer que se mida su perímetro (cuánto mide su frontera) por saltos de compás de distintas apreturas fijas por cada medida; la noción misma de contorno deja de tener sentido cuando la escala del compás representa unos 100 metros. Quien haya visitado una playa sabrá bien que avance y retroceso del mar sobre la playa es totalmente irregular y cambia constantemente. El estudio de la irregularidad desembocó en un capítulo muy importante de las matemáticas de finales del siglo XX: los fractales {Mandelbrot}. Por otro lado, las incertezas a escala microscópica tienen serios efectos en la mecánica cuántica. El principio de incertidumbre de Heisenberg vincula las incertidumbres de la posición \(x\) y del impulso \(p\) de una partícula [la palabra "partícula" en esta escala tiene un sentido distinto al que le damos a escalas usuales, y ese puede ser otro tema a discutir] {Bes} según: \[ \Delta x\times\Delta p\geq\frac{\hbar}{2} \] donde \(\hbar=1.05\times10^{-34}\mbox{ J s}\) es la constante reducida de Planck. Esto significa que cuanta menos incerteza tengamos sobre dónde está una partícula, más tendremos sobre su impulso (proporcional a la velocidad), y viceversa. La misma relación se cumple para la energía \(E\) y el tiempo \(t\).

Referencias

  • Asimov, I. (1987), Enciclopedia biográfica de ciencia y tecnología, Vol. 1-4, Alianza.
  • Bes, D. (2007), Quantum Mechanics: A Modern and Concise Introductory Course (Advances Texts in Physics), Springer.
  • Fernández, J. S. & Galloni, E. E. (1951), Trabajos prácticos de Física, Centro de estudiantes de Ingeniera de Buenos Aires.
  • Fornasini, P. (2008), The Uncertainty in Physical Measurements: An Introduction to Data Analysis in the Physics Laboratory, Springer.
  • Ganot y Maneuvrier, A. G. (1913), Tratado elemental de Física, Librería de la Vda. de C. Bouret and Librera de Hachette y Cia..
  • Hecht, E. (2001), Optics (4th Edition), Addison Wesley.
  • Hewitt, P. G. (1998), Física Conceptual, Addison Wesley Longman Mxico.
  • Koshkin, N. & Shirkévich, M., Manual de Física elemental, Mir.
  • Kotulski, Z. A. & Szczepinski, W. (2009), Error Analysis with Applications in Engineering (Solid Mechanics and Its Applications), Springer.
  • Loedel, E. (1949), Enseñanza de la Física, Kapelusz.
  • Mandelbrot, B. (2002), La Geometria Fractal De La Naturaleza (Spanish Edition), Tusquets Editores.
  • Menzel, D. H. (1960), Fundamental Formulas of Physics, Vol. 2, Dover Publications.
  • von Reichenbach, M. C.; D'Urso, M. L. & Hara, M. (2002), 'Tebaldo Jorge Ricaldoni: ¿inventor o científico?', Saber y Tiempo, revista de Historia de la ciencia 4(13), 73-93.
  • Richard Manliffe Sutton, E. (1938), Demonstration Experiments in Physics, McGraw Hill Text.
  • Schurmann, P. F. (1946), Historia de la Física, Editorial Nova.
  • Shattuck, T. W., 'Uncertainty Calculator'.
  • Strong, J. (2004), Concepts of Classical Optics, Dover Publications.
  • de Tencología Industrial (INTI), I. N. (1972), 'Metrología: Reglamentación, Decretos, resoluciones y disposiciones'.