La caja de Landau

   El "Curso de Física General" de Lev Landau, Aleksandr Il'ich Akhiezer y Evgeny Lifshitz es un libro que en su momento me sirvió muy bien para preparar el final de Física General 2. Como el martes tuve que improvisar un problema de ingenio para el programa de la radio, recordé una parte de este libro en la que dan un ejemplo para aclarar que un proceso irreversible en realidad es estadísticamente irreversible porque es muy pero muy improbable que suceda. La versión que daré aquí es con los números que dije en la radio.

   El ejemplo es más o menos así: supongamos un recipiente con un tabique en el medio. Podría ser un tubo con un tabique justo en el medio. La primera mitad está llena de un gas ideal (supongamos \(N=10^{23}\) moléculas, que en condiciones normales ocupan aproximadamente 3,7 litros de espacio) y la otra está al vacío. Si se practica un agujero en el medio del tabique, el gas se expande y llena todo el recipiente. La pregunta es, 

¿cuánto tiempo habría que esperar para que todas las moléculas vuelvan espontáneamente a la mitad en que estaban?

 Veamos la situación para sólo 1 molécula: supongamos que está medio segundo en cada mitad del recipiente, y por eso podemos decir que la probabilidad por segundo de que esté en la primera mitad del recipiente es 1/2. Si agrego otra molécula (y como las moléculas de gases perfectos se mueven con independencia), la probabilidad por segundo de que las dos estén en la primera mitad es \(1/2^{2}\).

   Para \(N=10^{23}\) moléculas, la probabilidad por segundo de que estén todas en la primera mitad es simplemente (pongo el número de la potencia entre paréntesis para evitar ambigüedades)

$$\frac{1}{2^{N}}=2^{-\left(10^{23}\right)}$$

La inversa de ese número es 

$$T=2^{\left(10^{23}\right)}$$

y es el tiempo que debería esperar para que todas estén en la mitad del recipiente. Este número es colosal. Veamos:

$$2^{\left(10^{23}\right)}=\left(10^{\log\left(2\right)}\right)^{\left(10^{23}\right)}=10^{\log\left(2\right)\cdot10^{23}}$$

como \(\log\left(2\right)=0,301029996\ldots \thickapprox 0,3= 3/10\), podemos decir que 

$$T=2^{\left(10^{23}\right)}=10^{\log\left(2\right)\cdot10^{23}}\thickapprox10^{3\cdot10^{22}}$$

Este número \(T\) (no nos olvidemos que son los segundos que habría que esperar para que todas las moléculas estén en una sola mitad del recipiente) es aproximadamente un 1 seguido por una cantidad de ceros que es 30.000.000.000.000.000.000.000 (3 seguido por 22 ceros). De hecho me dio curiosidad calcular cuánta memoria de computadora ocuparía escribir ese número (lo convertí con bit calculator) y ocuparía un poco más que 3.492.459.654.808 gigabytes (unos 3.330.669,07 petabytes). Considerando que Google actualmente procesa unos 20 petabytes por día, a ellos les tomaría escribir nuestra aproximación de \(T\) en forma desarrollada un poco más de 478.419.130 años (más de 478 millones de años).

Ahora comparemos  \(T\)  con algún número grande que conozcamos, por ejemplo la edad del universo. La NASA estima que es de unos 13.700 millones de años (en el orden de \(10^{17}\) segundos para trabajar con números redondos). En síntesis, si divido  \(T\)  por la edad del universo, averiguo cuántos universos debería esperar para que las moléculas de nuestro humilde experimento se vayan espontáneamente a la mitad de donde salieron, y es

$$\frac{10^{3\cdot10^{22}}}{10^{17}}=10^{(3\cdot10^{22}-17)}$$

Caemos más o menos de nuevo en lo mismo, pero para escribir ese tiempo en "universos". No cambia apreciablemente la cantidad de ceros, y a Google le tomaría escribir esta nueva cantidad aproximadamente los mismos 478 millones de años. Mucho tiempo por donde se lo mire.

Así que sí, podemos afirmar razonablemente que el proceso es efectivamente irreversible y olvidarnos del asunto considerando que sería un milagro que todas vuelvan a su lugar original. ¿Puede suceder? Sí, pero espérelo sentado.